المثلث هو أبسط المضلعات: ثلاثة أضلاع مستقيمة وثلاث زوايا. تُصنَّف المثلثات حسب أضلاعها — متساوي الأضلاع (الأضلاع الثلاثة متساوية)، متساوي الساقين (ضلعان متساويان)، مختلف الأضلاع (لا ضلعين متساويين) — وحسب زواياها — حاد الزوايا (كل الزوايا أقل من 90°)، قائم الزاوية (زاوية 90° واحدة)، منفرج الزاوية (زاوية واحدة أكبر من 90°). وتقوم حاسبة المثلثات بحل بقية قياسات المثلث — الأضلاع والزوايا المجهولة والمساحة والمحيط — من القيم القليلة التي تعرفها.
وهناك حقيقة تحكم كل شيء عن المثلثات: مجموع الزوايا الداخلية الثلاث يساوي دائماً 180° بالضبط. فإذا عرفت زاويتين، فالثالثة هي ببساطة 180° ناقص مجموعهما.
أشهر صيغة للمساحة تستخدم القاعدة والارتفاع:
المساحة = ½ × القاعدة × الارتفاع
ويجب أن يكون الارتفاع عمودياً على القاعدة. أما إذا كنت تعرف الأضلاع الثلاثة، فتعمل صيغة هيرون دون الحاجة لأي ارتفاع: احسب أولاً نصف المحيط s = (a + b + c) / 2، ثم المساحة = √(s(s−a)(s−b)(s−c)).
في المثلث القائم الزاوية، الضلع المقابل للزاوية القائمة هو الوتر (أطول ضلع). وتنص النظرية على:
a² + b² = c²
حيث c هو الوتر. وهذا يتيح إيجاد أي ضلع من الضلعين الآخرين: فلساقين طولاهما 3 و4، يكون c = √(9 + 16) = √25 = 5.
"حل" المثلث يعني إيجاد جميع الأضلاع والزوايا المجهولة. وتحتاج إلى ثلاث معلومات على الأقل تتضمن ضلعاً واحداً على الأقل — والحالات المعيارية هي: ثلاثة أضلاع (SSS)، وضلعان والزاوية المحصورة بينهما (SAS)، وزاويتان وضلع (ASA/AAS)، وضلعان وزاوية غير محصورة (SSA وهي غامضة — قد تعطي صفراً أو حلاً واحداً أو حلين). وتطبّق الحاسبة قانون الجيوب (a/sin A = b/sin B = c/sin C) وقانون جيوب التمام (c² = a² + b² − 2ab·cos C) في الخلفية.
حُلَّ المثلث القائم الشهير 3–4–5 (ساقان طولاهما 3 و4 والزاوية القائمة بينهما):
المساحة = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) حيث s نصف المحيط — تجد المساحة من الأضلاع فقط.
يجب أن تحقق الأطوال متباينة المثلث (كل ضلع أقصر من مجموع الضلعين الآخرين).
