حاسبة الانحراف المعياري

ما هو الانحراف المعياري؟

الانحراف المعياري يقيس مدى تشتت مجموعة من الأرقام حول متوسطها. فالانحراف المعياري المنخفض يعني أن القيم تتجمع بإحكام قرب المتوسط؛ والمرتفع يعني أنها مبعثرة على نطاق واسع. وتوفر عليك حاسبة الانحراف المعياري الحساب اليدوي الطويل — تربيع عشرات الانحرافات وأخذ الجذر التربيعي — وتزيل أشهر مصادر الخطأ: القسمة على العدد الخاطئ. وهي من أكثر الأدوات استخداماً في الإحصاء والتمويل (التقلبات) والعلوم وضبط الجودة.

يُعبَّر عن الانحراف المعياري دائماً بنفس وحدات بياناتك: فإذا كانت بياناتك درجات اختبار من 100، كان الانحراف المعياري "بالدرجات"، وهذا ما يجعله أسهل فهماً بكثير من قريبه التباين.

كيف يعمل؟

المجتمع مقابل العينة

هناك صيغتان، واختيار الصحيحة منهما مهم:

• الانحراف المعياري للمجتمع (σ) — يُستخدم عندما تغطي بياناتك كل أفراد المجموعة، كدرجات جميع الطلاب الثلاثين في صف. اقسم على N أي العدد الكامل.
• الانحراف المعياري للعينة (s) — يُستخدم عندما تكون بياناتك جزءاً فقط من مجموعة أكبر، كاستطلاع 30 ناخباً من بين الملايين. اقسم على n−1 بدلاً من n. وهذا التصحيح الصغير (ويسمى تصحيح بِسِل) يزيل التحيز الناتج عن التقدير بعينة.

الصيغة خطوة بخطوة

لنسخة المجتمع:

σ = √( Σ(x − μ)² / N )

1. أوجد المتوسط (μ) لجميع القيم.
2. اطرح المتوسط من كل قيمة وربّع الناتج (فالتربيع يجعل السالب موجباً ويعاقب الانحرافات الكبيرة أكثر).
3. احسب متوسط تلك الانحرافات المربعة — وهذا المتوسط هو التباين (σ²).
4. خذ الجذر التربيعي للعودة إلى الوحدات الأصلية. وهذا هو الانحراف المعياري.

وصيغة العينة مطابقة إلا أن القسمة النهائية تكون على (n−1): s = √( Σ(x − x̄)² / (n−1) ).

كيفية استخدام هذه الحاسبة

1. أدخل مجموعة بياناتك كقائمة أرقام (مفصولة بفواصل أو مسافات أو أسطر جديدة).
2. اختر المجتمع إذا كانت البيانات المجموعة كاملة، أو العينة إذا كانت جزءاً منها.
3. تعيد الحاسبة فوراً المتوسط والتباين وكلا الانحرافين المعياريين.

مثال محلول

أوجد الانحراف المعياري لمجموعة البيانات 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9:

1. المتوسط: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5.
2. الانحرافات المربعة: 9، 1، 1، 1، 0، 0، 4، 16. المجموع = 32.
3. تباين المجتمع: 32 / 8 = 4، إذن σ = √4 = 2.00.
4. تباين العينة: 32 / 7 ≈ 4.571، إذن s = √4.571 ≈ 2.14.

لاحظ أن قيمة العينة أكبر قليلاً — فالقسمة على (n−1) تصحح ميل العينة إلى التقليل من التشتت الحقيقي.

نصائح

• استخدم الانحراف المعياري للعينة ما لم تكن متأكداً أن البيانات هي المجتمع كاملاً — فمعظم بيانات العالم الحقيقي عينات.
• القاعدة التجريبية: للبيانات التي تقارب شكل الجرس، يقع نحو 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، و95% ضمن انحرافين، و99.7% ضمن ثلاثة.
• لا يمكن أن يكون الانحراف المعياري سالباً أبداً. فإذا حصلت على قيمة سالبة فثمة خطأ في الحساب.
• التباين (σ²) هو النسخة المربعة — مفيد في الصيغ، لكن خذ الجذر التربيعي دائماً عندما تريد إجابة بوحدات واقعية.